Question

【题目】【南京市、盐城市2017届高三年级第二次模拟】

已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1－，

(n＋2)cn＝－，其中n∈N*．

（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；

（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）因为{an}是公差为2的等差数列，

所以an＝a1＋2(n－1)，＝a1＋n－1，

从而(n＋2)cn＝－(a1＋n－1)＝n＋2，即cn＝1．………4分

（2）由(n＋1)bn＝an＋1－，

得n(n＋1)bn＝nan＋1－Sn，

(n＋1)(n＋2)bn＋1＝(n＋1)an＋2－Sn＋1，

两式相减，并化简得an＋2－an＋1＝(n＋2)bn＋1－nbn．………………………6分

从而(n＋2)cn＝－＝－[an＋1－(n＋1)bn]

＝＋(n＋1)bn

＝＋(n＋1)bn

＝(n＋2)(bn＋bn＋1)．

因此cn＝(bn＋bn＋1)．

因为对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，所以λ≤cn＝(bn＋bn＋1)≤λ，

故bn＝λ，cn＝λ．

所以(n＋1)λ＝an＋1－，①

(n＋2)λ＝(an＋1＋an＋2)－，②

②－①，得(an＋2－an＋1)＝λ，即an＋2－an＋1＝2λ．

故an＋1－an＝2λ(n≥2)．

又2λ＝a2－＝a2－a1，则an＋1－an＝2λ(n≥1)．

所以数列{an}是等差数列．