Question

【题目】一个大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为和．现让一长为L、密度为的均匀木棍，竖直地放在上面液体内，其下端离两液体分界面的距离为3L/4，由静止开始下落．试计算木棍到达最低处所需的时间．假定由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够深，保证木棍始终都在液体内部运动，既未露出液面，也未与容器相碰．

Answer 1

【答案】

【解析】

1．用S表示木棍的横截面积，从静止开始到其下端到达两液体交界面为止，在这过程中，木棍受向下的重力和向上的浮力．由牛顿第二定律可知，其下落的加速度为．

用表示所需的时间，则，

由此解得．

2．木棍下端开始进入下面液体后，用表示木棍在上面液体中的长度，这时木棍所受重力不变，仍为，但浮力变为，当时，浮力小于重力；当时，浮力大于重力，可见有一个合力为零的平衡位置．用表示在此平衡位置时，木棍在上面液体中的长度，则此时有

，

由此可得．

即木棍的中点处于两液体交界处时，木棍处于平衡状态，取一坐标系，其原点位于交界面上，竖直方向为z轴，向上为正，则当木棍中点的坐标时，木棍所受合力为零，当中点坐标为z时，所受合力为

式中．

这时木棍的运动方程为

为沿z方向的加速度为

所以，．

由此可知为简谐振动，其周期为．

为了求木棍同时．在两种液体中运动的时间，先求振动的振幅A．木棍下端刚进入下面液体时，其速度为

由机械能守恒可知，

式中为此时木棍中心距坐标原点的距离。

由上述各式可得A=L．

由此可知，从木棍下端开始进入下面液体到棍中心到达坐标原点所走的距离是振幅的一半，从参考圆（如图所示）上可知，对应的为30°，对应的时间为，因此木棍从下端开始进入下面液体到上端进入下面液体所用的时间，即棍中心从到所用的时间为

3．从木棍全部浸入下面液体开始，受力情况的分析和1中类似，只是浮力大于重力，所以做匀减速运动，加速度的数值与一样，其过程和1中情况相反地对称，所用时间．

4．总时间为．