Question

【题目】一个容器底部有一个半径为的圆洞，有一个质量为，半径为的球堵住洞口后注满水，慢慢减少容器中的水，当水深达到一个确定值时，球从圆洞处升起，求.

Answer 1

【答案】

【解析】

作用在球上的力有重力、水的浮力和洞口的支持力，当水的浮力等于球的重力时,支持力等于零,此时球将浮起。

首先计算在水深为h时作用在球上的浮力,假设球浸在水中的体积为V(r,R).现在想象球突出在容器底以外的部分被截去,而容器下的空间也充满了水,则浮力应为

,式中的是水的密度.

事实上洞下面并没有水,浮力减少了

.

球实际受到的浮力为

.

很显然,当足够大时,球受到的合外力为负值(即方向向下).随着的减小,逐渐增大,在球的顶部仍然浸在水中的情况下,当水深为的时候,增大到.这时有

。

球缺的体积公式为

,

因此可将表示为

。

当然,上面的式子只有在球的顶部仍然被水覆盖时才成立,也就是时.否则只能修正,计算直径两侧截去后球的体积,最后得到必须满足的条件:

本题是一道涉及流体的静平衡问题,各类资料中涉及这类问题的试题并不是很多,应注意加强练习。

对于流体的静平衡问题,主要是流体的压强与浮力的计算.要能理解浮力产生的原因,要掌握流体对曲面的压力的等效处理及计算。