Question

【题目】如图甲所示，质量同为m、电量同为的一簇带电粒子，从点以相同速率在xOy平面内向右上方各方向射出，即角在0到范围内，试在xOy平面内设计一个电场区域，使这些带电粒子全部都会聚于点．，在y轴的两侧，与原点O的距离同为R．设带电粒子的相互作用可略。

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

为使粒子能会聚到，外加电场对粒子的作用力应能使不同粒子经不同的弯曲轨道到达同一点，于是联想到重力场对斜抛物体的作用，可以达到类似目的．由此，首先想到设计的外电场是与重力场类似的匀强电场。

注意到，以相同速率、不同抛射角抛出的物体，其水平（x轴方向）射程是不同的，不能都落到同一点上，这是重力场无处不在的结果．为使带电粒子都能通过点，需要为不同的抛射角调整出不同的水平射程，也就是说，先让粒子在无电场区域内沿直线运动，使水平射程从2R减小到与该角对应的水平射程大小相同时，再让该粒子进入到匀强场区，入射点便为匀强场区的边界点．总之，可以尝试着设计一个有边界的匀强静电场区，看是否能让带电粒会聚到P点．

设计的场区如图乙所示，场强方向与y轴反向，大小取为E．带电粒子在场区内得到与y轴反向的加速度，大小为

，

在场区内带电粒子沿抛物线轨道运动。取场区右侧边界点，其中x对应经过该边界点的带电粒子斜抛轨道的半水平射程．将此段路程所经时间记为t，则有

，．

联立，消去t，得

．

与几何关系

，

联立，得

，

这就是场区的右边界．由对称性，以代替方程式中的x，即得场区的左半边界方程为

，