Question

【题目】已知函数，其中常数.

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）当时，若函数有三个不同的零点，求的取值范围；

（3）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称为函数的“类对称点”，请你探究当时，函数是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 和；(2) ；(3)答案见解析.

【解析】试题分析：（1）由f′(x)="2x-(a+2)+" ==

，能求出当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间．

（2）a=4，f′（x）=2x+-6，故f′(x)="2x+"-6≥4-6，不存在6x+y+m=0这类直线的切线．

（3）y=g(x)=(2x0+-6)(x-x0)+ -6x0+4lnx0，令h（x）=f（x）-g（x），由此入手，能够求出一个“类对称点”的横坐标．

解：（1）由可知，函数的定义域为，

且.

因为，所以.

当或时， ；当时， ，

所以的单调递增区间为.

（2）当时， .

所以，当变化时，， 的变化情况如下：

	（0,1）	1	（1,2）	2	（2，
	+	0	—	0	+
	单调递增	取极大值	单调递减	取极小值	单调递增

所以，

.

函数的图象大致如下：

所以若函数有三个不同的零点， .

（3）由题意,当时， ，则在点P处切线的斜率；所以

.

令，

则， .

当时， 在上单调递减，所以当时， 从而有时，；

当时， 在上单调递减，所以当时， 从而有时， ；所以在上不存在“类对称点”.

当时， ，所以在上是增函数，故

所以是一个类对称点的横坐标.