Question

【题目】迫击炮和目标位于同一水平面上，它们之间有高为h的小山，迫击炮到山的水平距离为a，目标到山的水平距离为b。试求为击毁目标，炮弹必须具有的最小初速度以及发射角。

Answer 1

【答案】如果，则，；如果，则， 。

【解析】

先讨论没有山的情况下所有通过目标的轨道。如图所示，在图上标出与炮弹最小初速度相对应的轨道，大家知道这条轨道对应发射角。不难确定，位于这条轨道上方或下方的其他轨道所对应的初速度都要大于这个最小初速度。因此，如果山位于这条轨道的下方，那么上述解答是符合实际的，也就是这条轨道满足题意。如果山高出这条轨道，那么上述所求的轨道要越过山的顶部，我们必须重新来求出新的轨道，本题的问题就在于此。

现在我们来作定量的讨论。

选择坐标系：迫击炮位于坐标的原点，x轴为水平线，y轴为竖直线。炮弹的坐标与时间的关系表述如下：

，

。

从这两个方程中消去t，得到地弹的轨道方程

。 ①

要使这些轨道通过目标，为此令当时。

。 ②

从②式得出式，再代入①式中，得到通过目标的轨道方程

。 ③

取为从0到范围内的不同值，得到如图所示的一切轨道，而当时得到标出的轨道。 ④

现在阐述，在什么条件下这条轨道从山的上方通过，为此求当轨道上这点的高度。

。

由此可见，如果山高，则所求的轨道由④式确定，而与它对应的初速度只要方程②中令即可，由此得。

这是初速度与最大的水平射程之间的一般关系式。

如果山高于标出的轨道：，就得重新确定所求的轨道。在此情况下需要求通过山顶的轨道，即令：

当时③式中。

。

由此。

将值代入公式③，得出所求的轨道方程。

注意，为了回答题目提出的问题，这个方程并不是我们最终的要求，但是，它却提供了进一步研究问题的可能性：炮弹通过哪些点飞向目标？

为了找到与这条轨道相应的初速度，需要将的值代入方程②中，得。

综上所述，作出解答：

如果，则，；

如果，则，

。