Question

【题目】电荷线密度分别为常量和的两根无限长平行带电直线相距2a，试求等势面和电场线的空间分布．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

设置Oxye坐标系，使两带电直线分别位于，，且与z轴平行。由对称只需讨论如图所示xOy坐标面中的等势线和电场线分布即可．

取，点为电势零点，则xOy坐标面上任一点的电势为

等势线要求常量（不同等势线对应的U不同），

引入不定常量性参量：，则等势线方程为

，

或． ①

也可表示为 ②

可见，等势线是一系列以为圆心、以为半径的圆．U取不同值时，为不同的常量．时，，圆在右半平面；时，，圆退化为y轴直线；时，，圆在左半平面。xOy坐标平面上的等势线如图中实线圆所示，在全空间，等势面是一系列的圆柱面，其母线与x轴平行，其截面为上述各个圆．

在任一点，等势线切线斜率为，等势线的法线斜率为．因电场线与等势线垂直，故在点，电场线的切线斜率等于该点等势线的法线斜率，即

由②式得

再由①式解出，代入上式，得

． ③

继而有

或 ④

本来可为微分方程④式去寻找对应的原函数（即电场线方程），但将④式与③式作一比较，发现两者数学结构相同，即只要将④式中x与y互换，再将换成，即成③式．③式的原函数解是含有不定常量的等势线方程①式，故只需将①式中的x与y互换，再将换成，就可以得到④式对应的原函数，即也包含一个不定常量的电场线方程，与并非微分方程③与④式中包含的量，考虑到③式对应的是等势线，④式对应的是电场线，两者物理内容不同，与未必相同也是自然的，于是④式对应的电场线方程通解可表述为

⑤

也可等效改述为

⑥

对⑤式和⑥式求导即可验证它们与④式相符，由⑥式可见，在xOy平面内，电场线是以为圆心，以为半径的一系列圆弧，这些圆弧都通过点和点，如图中虚线所示。需要注意的是，图中每条虚线所示整圆，并非代表一条电场线，而是由两整条电场线连接而成的．