Question

【题目】如图所示，倾角为的一个光滑斜面，由斜面上一点O通过斜面最大斜率的竖直平面内斜上抛一个小球，初速度为v，抛出方向与斜面交角，。

（1）．若小球与斜面的每次碰撞不消耗机械能，并且小球在第n次与斜面相碰时正好回到抛射点O，试求、、n满足的关系式。

（2）．若小球与斜面每次碰撞后，与斜面垂直的速度分量满足：碰后值是碰前值的e倍，。并且小球在第n次与斜面相碰时正好回到抛射点O，试求、、n和e满足的关系式。

（3）．由2，若其中第r次与斜面相碰时，小球正好与斜面垂直相碰，试证明此时满足关系式：。

Answer 1

【答案】1． 2． 3.见解析

【解析】

(1)建立如图所示的直角坐标系.斜上抛的小球在y轴方向上有多次的往复运动,而在x轴方向上只有一次。设为小球第k次与斜面相碰的点,、是小球第k次与斜面相碰后速度在x、y方向上的分量,加速度为

，。

到的时间满足

，即。

由此可以得到小球从O点抛出开始,直至抵达所经历的时间为

。

因为小球与斜面的每次碰撞中并不消耗能量,所以,

所以,。

因斜面是光滑的,再利用x轴方向的分量运动方程,当小球与斜面碰撞n次时有,

即。

联立与(用n替代中的k)可以得到。

(2)利用(1)中小球从O点抛出开始,直至抵达所经历的时间，

小球与斜面垂直的分量满足

所以,。

再利用,联立上式,整理可以得到

。

(3)接上问,现小球在第r次与斜面相碰时与斜面垂直,即,而

，

即。

利用(其中k用r代之),联立,整理后得,

将代入,即可得.

本题的命题方式是在同一模型背景下,设计出不同层次的问题,且随着问题的升级,涉及的信息量、干扰问题的因子、计算量等也随之增加,对不同层面的答题者作出了有效的区分,本题中问题是通过小球与斜面的碰撞从弹性到非弹性,再到碰撞时小球沿斜面方向与垂直于斜面方向的约束关系的确定,将问题一步一步地向上推。

事实上,设置了多问的试题大多都有这一功能,对这类试题的解答我们应该量力而行,努力完成自己能够完成的部分内容。