Question

【题目】已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x= 的二次函数，

g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ，

当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x= ，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1， ]；

当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．

当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．

综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1， ]；

（2）解：依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需 ，解得﹣1≤a≤1，

故a的取值范围是[﹣1，1]．

【解析】（1）当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ，分x＞1、x∈[﹣1，1]、x∈（﹣∞，﹣1）三类讨论，结合g（x）与f（x）的单调性质即可求得f（x）≥g（x）的解集为[﹣1， ]；（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，只需 ，解之即可得a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．