Question

【题目】设赛车道在同一水平面上，车轮与地面间的摩擦因数为，且不随速度变化，问：

（1）当赛车运动员驾车做90°转弯时，应选择图甲中的半径为的圆弧外车道还是半径为的圆弧内车道？

（2）做180°转弯时，又应选择图乙中的哪个车道？

请作出必要的计算并据此得出结论。为简化起见，可把赛车作质点处理，且设赛车在刹车减速时四轮同时刹车，并假设赛车在加速过程和减速过程中的加速度的绝对值相等，赛车在直道上高速行驶的速度（空气阻力忽略不计）。

Answer 1

【答案】（1）应选择外道行驶

（2）①当，应选择内道；

②，应选择外道；

③当，选择内、外道均一样

【解析】

1.先讨论赛车沿圆弧运动的最大速度，

赛车圆弧运动时所需的向心力由摩擦力提供，与最大静摩擦力相应的运动速度就是允许的最大速度. 如果速度再提高，所需的向心力就大于地面所能提供的摩擦力，因而赛车就不可能沿圆弧运动而将发生侧向滑动，沿圆弧运动的最大速度-与圆半径、摩擦因数有下列关系：，

即有. （*）

此即赛车沿圆弧运动的最大速度.

2.计算赛车沿直轨道加速行驶或减速行驶的加速度、所用时间及距离.

设赛车在直道上高速行驶时的速度为，在进入圆弧轨道前要将车速由降至（*）式中的速度. 刹车后，赛车在与地面问的摩擦力作用下减速，赛车的加速度为.

赛车自圆弧轨道终点处开始加速. 据题设，其加速度为.

赛车由增至后，以速度匀速行驶.

根据匀加速运动的公式，加速与减速过程所用的时间和行驶的距离分别为

，.

3.根据以上分析，我们可以比较沿内道贺沿外道所用时间的长短.

（1）90°转弯时的情况，如图乙所示.

内道和外道的半径分别为和，沿圆弧轨道的最大速度和分别为，.

先讨论赛车沿外道行驶时的情况.

如图乙所示，赛车沿外道行驶时，为减速过程，由上面的分析可知.

为沿半径为的圆周做匀速率圆周运动，则.

为加速过程，时间与相同.

为匀速（）运动，为赛车沿内道运动加速至速度为时的位置，所以，.

因而，赛车在全过程中所需时间为

.

赛车沿外道行驶时，减速过程和加速过程的距离和均为.

再讨论赛车沿内道行驶时的情况.

如图乙所示，赛车沿内道行驶时，为匀速（）过程；减速过程，为沿半径为的圆周做匀速率（）圆周运动；为加速过程；类似于外道的时间计算可得所需时间为.

赛车沿内道行驶时减速过程和加速过程的距离和均为.

由几何关系及、可得

，.

由上述两式及前面的时间关系可得

，.

两者之差为.

显然，沿外道所用时间较少，应选择外道行驶.

（2）180°转弯时的情况（图丙）

如图丙所示，赛车沿外道行驶时，为减速过程；为匀速率（）圆周运动；为加速过程；赛车沿内道行驶时，为匀速（）过程；减速过程，为匀速率（）圆周运动. 根据前面得到的关系可求得：

赛车沿外道行驶所用时间为.

赛车沿内道行驶所用时间为.

而，故，

.

由上式可得以下结论：

①当，即时，，应选择图丙中的内道；

②，即时，，应选择图丙中的外道；

③当，即时，，选择内、外道均一样.