Question

【题目】在如图所示的圆柱形区域内有匀强磁场，且随时间而变化，在垂直于的某平面上已建立坐标系.一根光滑绝缘细空心管相对轴对称地固定在轴上，且处在磁场区域内.与间的夹角为，其中为磁场区域中央轴与平面的交点.管内有一质量为、带电量为的光滑小球，时它恰好静止在位置.设的正方向如图甲所示，在该方向上其值（可正、可负）随时间的变化规律为

，其中、均为正的常量.设的这种变化规律恰好能使小球在、之间作以为中心、长度之半为振幅的简谐振动.

（1）求出与、、、之间的关系；

（2）设长为，请确定管所受小球作用力在轴上的投影与小球位置之间的函数关系，并定性画出曲线，但需标定曲线上的特征点.

Answer 1

【答案】（1）

（2）变化规律图像如图所示

【解析】

为便于思考分析起见，把磁场随时间的变化画成正弦图像，根据楞次定律，可得个的时间段内涡旋电场的方向，如图乙所示.如图丙所示，质点速度始终与轴重合，洛仑兹力始终沿方向，涡旋电场力始终垂直于质点和的瞬时连线.谐振回复力只是电场力的分力，在方向上则是电场力的分力和洛仑兹力及轨道压力保持平衡.

以下解题过程需要用到两个必备公式.

①.

②如果，

则.

（1）首先，变化磁场产生的涡旋电场大小跟有关.

因为，所以，.

说明涡旋电场的大小既随时间变化又随空间位置变化.

其次，沿轴方向质点加速总是指向平衡位置，按个时间段的实际情况，总与反向，如图乙所示.

.

已知质点做谐振，振幅，得

，

所以，.

（2）下面考虑方向上的力，我们发现无论磁场取垂直纸面向里方向还是垂直纸面向外方向，总指向轴正方向，故式子成立.

，

，

故.

-变化规律图像如图所示，结合的表达式看图像

，

可见，在处，大小为，此处，沿方向.在处，大小为，此处洛仓兹力为零，沿轴方向.的位置是.

本题有如下几点值得我们思考：

1.静电场与涡旋场在对电荷的作用力方面没有差别，这是否意味着静电场与涡旋场在其他方面也没有差别呢？

2.在竞赛中，如同本题一样，若要求用函数图像来描述物理量之间的关系，在图像上，即便是题目没有作具体的说明，能标注点的具体坐标的，必须予以明确标注.

3.本题在命题方面是否还有需要完善的地方？如小球的重力考虑与否？那么，对于不完善的试题，临场时，我们又该如何应对呢？