Question

【题目】如图甲所示，有一木板可绕其下端的水平轴转动，转轴位于一竖直墙面上。开始时木板与墙面的夹角为，在夹角中放一正圆柱形木棍，截面半径为。在木板外侧加一力使其保持平衡，在木棍端面上画一竖直向上的箭头。已知木棍与墙面之间、木棍与木板之间的静摩擦系数分别为，。若极缓慢地减小所加的力，使角慢慢张开，木棍下落。问：当夹角张到时，木棍端面上的箭头指向什么方向？

附三角函数表：

	0.131	0.259	0.500	0.866
	0.991	0.966	0.866	0.500

Answer 1

【答案】箭头最后指向为由正上方顺时针转处。

【解析】

设木棍的质量为，所受墙面的正压力与摩擦力（向上）为；所受木板的正压力与摩擦力（向上）为。设木板与墙面的夹角为，如图乙所示。则木棍的平衡方程为竖直方向

. ①

水平方向：. ②

转动：. ③

1.要使木棍即将在墙面上先滑动（左滑），这时

， ④

而. ⑤

根据③式，左滑条件④⑤两式可合写为

. ⑥

由②③④得

. ⑦

由⑥⑦两式可得

. ⑧

将代入⑧式，得

. ⑨

这就是左滑时所应满足的条件。

由⑨式可以看出，当小时此式无法满足。可见左滑在大于临界角时发生，满足

. ⑩

此式即⑧式取等号的情况，由此可知这时为同时处于最大摩擦力的临界状态。当小于时发生右滑，即木棍在墙面上滑动而在木板上无滑动滚动。

2.讨论木棍右滑条件，这时

， ④

. ⑤

右滑条件成为. ⑥

由②③④式得与的关系为

. ⑦

由⑥⑦式得

. ⑧

此式正好与⑧式相反，即右滑在小于⑩式的时发生。结论：当时右滑，即在木板上滑动；当时左滑，即在墙面上滑动。

3.求临界角，即解⑩式.

两边平方并消去得

.

其解为

满足⑩式，是所求的解；而另一解不满足⑩式，是增根，应舍去。结果：当时右滑（在木板上滑动）；当时左滑（在墙面上滑动）.

4.计算箭头转角

设张角在，，时木棍中心的高度（从转轴算起）分别为.

由于，由图丙可知

，

，

.

当木棍由下落至时，顺指针转角：

.

当木棍由下落至时，逆时针转角：

.

而在这一过程中，木板本身顺指针转了，因此箭头的最后指向为。所以，箭头最后指向为由正上方顺时针转处。