Question

【题目】—根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为m的珠子（视为质点），绳的下端固定在A点，上端系在轻质小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计）。细杆与A在同一竖直平面内。开始时，珠子紧靠小环，绳被拉直，如图所示。已知：绳长为L，A点到杆的距离为h，绳能承受的最大张力为，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断。求细绳被拉直时珠子的位置和速度的大小（珠子与绳子之间无摩擦）。

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）珠子运动的轨迹

建立如图丙所示的坐标系，原点在过点的竖直线与细杆相交处，轴沿细杆向右，轴沿向下. 当珠子运动到点且绳子未断时，小环在处，垂直于轴，所以珠子的坐标为

，.

由知，即有，得

. ①

这是一个以轴为对称轴，顶点位于处，焦点与顶点的距离为的抛物线，如图丙所示，图中的，为焦点.

（2）珠子在点的运动方程

因为忽略绳子的质量，所以可把与珠子接触的那一小段绳子看作是珠子的一部分，则珠子受的力有三个，一是重力；另外两个是两绳子对珠子的拉力，它们分别沿和方向，这两个拉力大小相等，皆用表示，则它们的舍力的大小为

， ②

为点两边绳子之间夹角的一半，沿的角平分线方向.

因为是焦点至的连线，平行于轴，根据解析几何所述的抛物线性质可知，点的法线是的角平分线. 故合力的方向与点的法线一致.

由以上的论证，再根据牛顿运动定律和题中的注，珠子在点的运动方程（沿法线方向）应为

，

即.③

式中是点处轨道曲线的曲率半径；为珠子在处时速度的大小. 根据机械能守恒定律可得

.④

（3）.求曲率半径

当绳子断裂时，，由③式可见，如果我们能另想其他办法求得曲率半径与的关系，则就可能由③④两式求得绳子断裂时珠子的纵坐标. 现提出如下一种办法．做一条与小珠轨迹对于轴呈对称状态的抛物线，如图丁所示. 由此很容易想到这是一个从高处平抛物体的轨迹. 平抛运动是我们熟悉的，我们不仅知道其轨迹是抛物线，而且知道其受力情况及详细的运动学方程，这样我们可不必通过轨道方程而是运用力学原理分析其运动过程，即可求出与对称的点处抛物线的曲率半径与的关系，也就是处抛物线的曲率半径与的关系.

设从抛出至落地的时间为，则有.

由此解得

.⑤

设物体在处的速度为，由机械能守恒定律可得

.⑥

物体在处法线方向的运动方程为

⑦

式中即为处抛物线的曲率半径，从⑤⑥⑦式及，可求得.

这也等于点抛物线的曲率半径，，故得

⑧

4.求绳被拉断时小珠的位置和速度的大小

把④⑧式代入③式，可求得绳子的张力为

.⑨

当时，绳子被拉断，设此时珠子位置的坐标为，由⑨式得.

代入①式，得.

绳子断开时，珠子速度的大小为.