Question

【题目】形状适宜的金属丝衣架能在如图甲所示的平面里的几个平衡位置附近做小振幅摆动．在位置1和位置2里，长边是水平的．其他两边等长．三种情况下的振动周期都相等．试问：衣架的质心位于何处？摆动周期是多少？

Answer 1

【答案】质心位于AB之中点．衣架的振动周期.

【解析】

本题所述的摆是复摆，我们先来推导复摆的周期公式．如图乙所示，设O为转轴（悬点），C为质心，与转轴距离（复摆摆长）为l，质量为m，对转轴的转动惯量为I，最大偏角．由机械能守恒定

律，可得

①

是刚体的质心通过平衡位置时的角速度。对摆长l、质量m的理想单摆而言，有

． ②

②式中是摆球（质点）通过平衡位置时的角速度，A是振幅，是摆球振动的圆频率。若将

①式变形为，比较②式，即对复摆与单摆作等效变换，可得复摆小幅振动（亦为谐振）的圆频率

那么复摆的周期公式为．

由题设条件确定衣架的质心位置及转动惯量，依据复摆周期公式，即可确定三种情况下相同的摆动周期T．如图丙所示，质心O到转轴A、B、C的距离设为a、b、c，由图甲1所示的情况下衣架的平衡位置可知O必在衣架长边的中垂线AB上，在三种情况下衣架对转轴A、B、C的转动惯量依次为，，．式中为所设衣架对质心的转动惯量，m是衣架总质量．因为三种情况下的周期相同，故有

，即．

显然，则可知．

又有，

即．

此式中因，，必有，即质心位于AB之中点．衣架的振动周期

根据图甲中的标注数字可知，，代入后得．