Question

【题目】对于命题P：存在一个常数M，使得不等式 对任意正数a，b恒成立．
（1）试给出这个常数M的值；
（2）在（1）所得结论的条件下证明命题P；
（3）对于上述命题，某同学正确地猜想了命题Q：“存在一个常数M，使得不等式 对任意正数a，b，c恒成立．”观察命题P与命题Q的规律，请猜想与正数a，b，c，d相关的命题．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意，由于 对任意正数a，b恒成立，

令a=b得： ，

故 ；

（2）解：要证明 ，

先证明 ．

∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2b+a）+3b（2a+b）≤2（2a+b）（2b+a），

即证a2+b2≥2ab即证（a﹣b）2≥0，这显然成立．

∴ ．

再证明 ．

∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2a+b）+3b（2b+a）≥2（a+2b）（b+2a），

即证a2+b2≥2ab即证（a﹣b）2≥0，这显然成立．

∴ ；

（3）解：猜想结论：存在一个常数M，使得不等式 对任意正数a，b，c，d恒成立．
【解析】（1）根据题意，利用特殊值法，令a=b可得， ，分析即可得M的值；（2）由分析法的思路：先证明 ，再类比可以证明 ，综合即可得证明；（3）利用类比推理的思路，分析可得答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用不等式的证明的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．