Question

【题目】宇宙空间中，有两颗初始静止、质量分别为、的星球，初始时刻两星球的距离为，以后在引力作用下相向运动，问：从开始运动到相碰为止，共经历了多少时间？（星球可视为质点）

Answer 1

【答案】

【解析】

在质心系中讨论（如图所示）.

图中，.

在质心系中，与均落向，所求时间就是与相撞的时间.

以为讨论对象，其在落向的过程中所受的万有引力为

，

其中、分别为两星落向的过程中两星的距高及到的距离，.

上述关系对于任何距离都成立.

同时，落向的椭圆的半长轴为.

利用开普勒第三定律得到碰前经历的时间为

.

整理可得.

两个星体在相互引力的作用下不离不弃，即我们所说的双星系统，这是两体问题的代表模型.在中学常规教学中，我们只讨论双星系统在彼此的引力作用下做圆周运动的情形，而此处将运动推向“椭圆运动”，难度自然增加了不少，但我们不要忽视，我们实际上是有能力处理双星系统中星体的椭圆运动的.

我们还需要说明的是，对双星系统的处理，除了本题解答给出的质心系（惯性系）下的处理方法外，也可在以或为参照系（非惯性系）的情况下引入惯性力进行处理，也可以或为引力中心，直接将系统作两体问题，引入约化质量进行处理，都能得到正确结果.解题方法多样，个人根据自己的偏好进行选择，应无所谓优劣，但在应试中，我们以不易出错且能节省时间的方法为首选.