Question

【题目】（1）如图（1），已知：正方形ABCD的对角线交于点O，E是AC上的一动点，过点A作AG⊥BE于G，交BD于F．求证：OE＝OF．

（2）在（1）的条件下，若E点在AC的延长线上，以上结论是否成立，为什么？

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）以上结论仍然成立．

【解析】

（1）利用正方形的性质得OA＝OB，∠AOB＝∠BOC＝90°，则利用等角的余角相等得到∠GAE＝∠OBE，则可根据”ASA“判断△AOF≌△BOE，从而得到OF＝OE；

（2）同样方法证明△AOF≌△BOE，仍然得到OF＝OE．

解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴OA＝OB，∠AOB＝∠BOC＝90°，

∵AG⊥BE于点G，

∴∠AGE＝90°，

∴∠GAE＝∠OBE，

在△AOF和△BOE中，，

∴△AOF≌△BOE（ASA），

∴OF＝OE；

（2）解：以上结论仍然成立．理由如下：

同样可证明△AOF≌△BOE（ASA），所以OF＝OE．