Question

【题目】在焦距为20.00cm的薄凸透镜的主轴上离透镜中心30.00cm处有一小发光点S，一个厚度可以忽略的光楔C（顶角α很小的三棱镜）放在发光点与透镜之间，垂直于主轴，与透镜的距离为2.00cm，如图所示。设光楔的折射率，楔角。在透镜另一侧离透镜中心46.25cm处放一平面镜M，其反射面向着透镜并垂直于主轴。问最后形成的发光点的像相对发光点的位置在何处？（只讨论近轴光线，小角度近似适用。在分析计算过程中应作必要的光路图。）

Answer 1

【答案】像点在发光点S左侧光轴上方，到光轴的距离为0.55cm，其在光轴上的垂足到S的距离为22.00cm。

【解析】

这是一个光具成像问题，厚度可忽略的光楔在成像过程中的作用相当于一使光线产生偏折的薄平板，平面镜使光线反射后再次经凸透镜成像，在这一过程中，我们再根据折射定律、透镜成像公式及有关数学近似进行一系列计算，就可得出最后结果。共有五次成像过程。

（1）光楔使入射光线偏折，其偏向角（出射光线与入射光线方向的夹角）用表示，由图可知

,

，。

对近轴光线，很小，有；

因α也很小，同样有。

故有

。

代入数值，得。

因与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏折同样角度。又因光楔厚度可忽略，所以作光路图时可画成一使光线产生偏折角的薄平板，如图。

光点S经光楔成一虚像点。对近轴光线，在S正上方，到S的距离为h，离光楔距离。

代入数据，得。

（2）为透镜L的实物，像点的位置可由下式求出

。

以，代入，得。

将视为与光轴垂直的小物，由透镜的放大率公式有

可求得。

即像点在光轴下方与光轴的距离为0.78cm，与透镜的中心距离为60.00cm处，如图所示。

（3）在平面镜之后，对平面镜是虚物，经平面镜成像，像点与对称于平面镜（图示）。，。

（4）作为透镜的实物，经透镜折射后再次成像，设像点，及与L的距离分别为和，则，。

在透镜左侧，主轴上方，如图所示。

。

5．第二次经透镜折射后成像的光线还要经光楔偏折，再次成像，像点在正下方，离光楔距离为50cm，离光轴的距离为（如图所示）。

，

。

像点在光轴上的垂足与S的距离为

。

即最后的像点在发光点S左侧光轴上方，到光轴的距离为0.55cm，其在光轴上的垂足到S的距离为22.00cm。