Question

【题目】在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形， ， ， ， ．

（I）求证： 平面．

（II）求与平面所成角的正弦值．

（III）线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论．

Answer 1

【答案】（I）见解析；（II）；(Ⅲ)见解析..

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用余弦定理和勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，又AC⊥FB，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系，求平面EAC的法向量，利用所成的角即可得出；
（Ⅲ）分别求出两个平面的法向量， ，若平面EAC⊥平面QBC,只需即可.

试题解析：

(Ⅰ)

证明：不妨设BC=1，

∵AB=2BC,∠ABC=60,

在△ABC中,由余弦定理可得AC2=22+122×2×1×cos60=3，

∴AC2+BC2=AB2，

∴AC⊥BC.

又∵AC⊥FB，CB∩BF=B，

∴AC⊥平面FBC.

(Ⅱ)∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC.

∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD.

∴CA，CF，CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系Cxyz.

在等腰梯形ABCD中，可得CB=CD.

设BC=1,所以C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),D(,12,0),E(,,1).

∴=(,,1), =(,0,0), =(0,1,0).

设平面EAC的法向量为=(x,y,z),则有.

∴.取z=1,得=(0,2,1).

设BC与平面EAC所成的角为θ,则.

所以BC与平面EAC所成角的正弦值为.

(Ⅲ)线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC.证明如下：

假设线段ED上存在点Q,设Q(,12,t)(0t1),所以CQ→=(,,t).

设平面QBC的法向量为=(a,b,c),则有，

所以.取c=1,得=(t,0,1).

要使平面EAC⊥平面QBC,只需=0，

即t×0+0×2+1×1=0，此方程无解。

所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC.