Question

【题目】[选修4-1：几何证明选讲]
如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心， OA为半径作圆．

（1）证明：直线A与⊙O相切；
（2）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．

Answer 1

【答案】
（1）

设圆的半径为r，作OK⊥AB于K，

∵OA=OB，∠AOB=120°，

∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°= r，

∴直线AB与⊙O相切；

（2）

点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，不妨设圆心为T，

∵OA=OB，TA=TB，

∴OT为AB的中垂线，

同理，OC=OD，TC=TD，

∴OT为CD的中垂线，

∴AB∥CD

【解析】（Ⅰ）过点O作OK⊥AB于点K．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°= r，则AB是圆O的切线．
（2）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．；
本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．