Question

【题目】如图所示，半径R的均匀圆木在水平地面上以平动速度做匀速滚动时，与高h的台阶相遇，接触处发生完全非弹性碰撞，即在碰撞后图中圆木与台阶侧棱接触部位A的速度降为零。再设两者间的摩擦因数足够大，使得部位A不会与台阶侧棱在而后的接触过程中发生相对滑动。

（1） 和h取何值时，圆木能绕侧棱滚上台阶？

（2）在（1）问基础上，确定部位A与侧棱间摩擦因数的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）碰撞前圆木的转动角速度为

.

碰后瞬间圆木转动角速度记为，因碰撞前后相对侧棱角动量守恒，故有

，

，

其中m为圆木质量。

可解得。

而后的定轴转动过程中机械能守恒，为能滚上台阶，首先要求

.

即得。

过程中除了摩擦因数足够大，确保A与侧棱间无相对滑动，还要求侧棱指向圆木中心的法向支持力N始终大于零。如图乙所示，将转动过程中角速度记为，则有

.

上滚时，增大，增大，减小（因势能增大，动能减小），故N增大。可见，N在转动的最初时刻最小。于是，要求

，

即要求。

综上所述，可取范围为

.

为使上式能满足，还要求

，

即得h可取范围为。

（2）相对台阶侧棱的转动定理公式为

.

角加速度沿逆时针方向，已在图中示出.若取质心系中质心为参考点，转动定理公式又为

，

其中，f是侧棱提供的摩擦力，方向也已在图中示出，于是可得

.

圆木上滚时，增大，N增大，f减小，故减小.可见，在转动的最初时刻最大，因此

，

式中

，

.

的可取范围为

.