Question

【题目】已知函数f（x）=|tx﹣2|﹣|tx+1|，a∈R．
（1）当t=1时，解不等式f（x）≤1；
（2）若对任意实数t，f（x）的最大值恒为m，求证：对任意正数a，b，c，当a+b+c=m时， ≤m．

Answer 1

【答案】
（1）解：t=1时，f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|，

，

所以f（x）≤1，

故不等式的解集为[0，+∞）

（2）解：由绝对值不等式得||tx﹣2|﹣|tx+1|≤|（tx﹣2）﹣（tx+1）||=3，

所以f（x）最大值为3，故m=3，

故 + + ≤ + +

≤ + + = =3，

当且仅当a=b=c=1时等号成立，

故原结论成立．

【解析】（1）求出f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最大值，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出m的值，结合不等式的性质证明即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号)．