Question

5．铝单质的晶胞结构如图甲所示，原子之间相对位置关系的平面图如图乙所示．
若已知铝原子半径为d，N_A表示阿伏伽德罗常数，摩尔质量为M，则该晶体的密度表示为$\frac{\sqrt{2}M}{8{N}_{A}{d}^{3}}$g/cm³．据上图计算，铝原子采取的面心立方堆积的空间利用率为74%．

Answer 1

分析 铝原子半径为d，对角线上三个铝原子相邻，对角线长度=4d，则晶胞棱长=$\sqrt{\frac{（4d）^{2}}{2}}$=2$\sqrt{2}$d，晶胞体积=（2$\sqrt{2}$d）³，该晶胞中Al原子个数=8×$\frac{1}{8}$+6×$\frac{1}{2}$=4，晶胞密度=$\frac{m}{V}$；
每个铝原子体积=$\frac{4}{3}π{d}^{3}$，该晶胞中含有4个Al原子，所以晶胞中所有铝原子体积=4×$\frac{4}{3}π{d}^{3}$，空间利用率=$\frac{所有铝原子体积}{晶胞体积}×100%$．

解答 解：铝原子半径为d，对角线上三个铝原子相邻，对角线长度=4d，则晶胞棱长=$\sqrt{\frac{（4d）^{2}}{2}}$=2$\sqrt{2}$d，晶胞体积=（2$\sqrt{2}$d）³，该晶胞中Al原子个数=8×$\frac{1}{8}$+6×$\frac{1}{2}$=4，晶胞密度=$\frac{m}{V}$=$\frac{\frac{M}{{N}_{A}}×4}{（2\sqrt{2}d）^{3}}$g/cm³=$\frac{\sqrt{2}M}{8{N}_{A}{d}^{3}}$g/cm³；
每个铝原子体积=$\frac{4}{3}π{d}^{3}$，该晶胞中含有4个Al原子，所以晶胞中所有铝原子体积=4×$\frac{4}{3}π{d}^{3}$，空间利用率=$\frac{所有铝原子体积}{晶胞体积}×100%$=$\frac{4×\frac{4}{3}π{d}^{3}}{（2\sqrt{2}d）^{3}}$×100%=74%，
故答案为$\frac{\sqrt{2}M}{8{N}_{A}{d}^{3}}$g/cm³；74%．

点评 本题考查晶胞计算，侧重考查分析计算能力及空间想象能力，明确密度公式中“$\frac{M}{{N}_{A}}×4$”的含义是解本题关键，注意棱上两个原子不相邻，为易错点．