Question

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.

设n年内(本年度为第一年)总投入为a_n万元，旅游业总收入为b_n万元，写出a_n,b_n的表达式；

至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

Answer 1

【小题1】a_n=4000×［1－()ⁿ］

b_n=1600×［()ⁿ－1］

【小题2】至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入

解析:

【小题1】第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－)万元，…第n年投入为800×(1－)^n－1万元，所以，n年内的总投入为

a_n=800+800×(1－)+…+800×(1－)^n－1=800×(1－)^k－1

=4000×［1－()ⁿ］

第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+)，…，第n年旅游业收入400×(1+)^n－1万元.所以，n年内的旅游业总收入为

b_n=400+400×(1+)+…+400×(1+)^k－1=400×()^k－1.

=1600×［()ⁿ－1］

【小题2】设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b_n－a_n＞0，即：

1600×［()ⁿ－1］－4000×［1－()ⁿ］＞0，令x=()ⁿ，代入上式得：5x²－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()ⁿ＜，由此得n≥5.

∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.