Question

9．为研究某鱼塘鲤鱼种群数量的变化规律，有人构建了数学模型，其过程如表所示：

研究方法	构建鲤鱼增长模型的主要步骤
A．观察研究对象，提出问题	A．鲤鱼在最初一个月内，种群数量每天增加1.21%
B．提出合理的假设	B．5个月内池塘的资源和空间充足，鲤鱼种群的增长不受种群密度增加的影响
C．根据实验数据，用适当的数学形式对事物的性质进行表达	C．Nt=N0•λt（其中Nt代表t天后鲤鱼的数量，t表示天数，λ表示倍数，N0表示最初鲤鱼的数量）
D．通过进一步的实验或观察等，对所建立的模型进行检验或修正	D．观察、统计鲤鱼的数量，对所建立的数学模型进行检验或修正

（1）依据数学模型建立的基本步骤，填写表中B、C空白处的内容．
（2）假设鲤鱼种群初期投入数量为2000尾，则20天后鲤鱼种群的数量为N₂₀=2000×1.0121²⁰尾．（用公式表示，不计算具体结果）．
（3）若该鱼塘最多可容纳8万尾鲤鱼生长，则在捕捞后，应让鱼塘保持4万尾鲤鱼时能发挥最大经济效益．若今后要使鱼塘中的鱼自然繁殖，还要考虑投放鱼苗种群的年龄组成和性别比例．
（4）在进行鲤鱼种群密度调查时，由于工作人员所做标志物太过明显，导致再次捕获时容易被发现并抓到，这种情况下，估算的鲤鱼种群密度会偏低（填“偏高”、“偏低”或“不变”）．

Answer 1

分析 本题命题意图是考查学生对数学模型的理解，建构数学模型的一般步骤是：提出问题→作出假设→用数学形式表达→检验或修正；
种群数量每天增加1.21%，也就是说后一天是前一天的1.0121倍，代入种群增长的公式就可以知道20天后种群的数量；

解答 解：（1）①对照右栏可知，B为提出合理的假设，同样对应左栏；C．N_t=N₀•λ^t，其中N₀表示最初鲤鱼的数量．
（2）根据题意，N₀=2000，λ=1+1.21%=1.0121，t=20，代入N_t=N₀•λ^t，因此N₂₀=2000×1.0121²⁰．
（3）池塘捕鱼时，当种群数量在$\frac{K}{2}$时，种群的增长率最高，能够持续高产，所以应让池塘保持4万尾鲫鱼时能发挥最大经济效率．若今后要使鱼塘中的鱼自然繁殖，还要考虑投放鱼苗种群的年龄组成和性别比例，因为年龄组成和性别比例也会影响种群数量．
（4）标志重捕法的计算公式：$\frac{种群中个体数（N）}{标记总数}$=$\frac{重捕总数}{重捕中被标志的个体数}$，由于标志物太过明显，导致再次捕获时容易被发现并抓到，这种情况下，估算的鲤鱼种群密度会偏低．
故答案为：
（1）B．提出合理的假设       C．最初鲤鱼的数量         
（2）2000×1.0121²⁰
（3）4万          性别比例           
（4）偏低

点评 本题考查学生了解建立数学模型的步骤，理解S型曲线，分析调查种群密度的方法，属于中档题．