Question

设函数f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx（a是实数，e为自然对数的底数），f（x）在（

1

e

，2e）内存在两个极值点x₁，x₂，x₁＜x₂．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若对任意的λ₁，λ₂∈[x₁，x₂]，|f（λ₁）-f（λ₂）|＜m恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据极值的定义可得f′(x)=

ax2-2x+a

x2

=0即ax²-2x+a=0在(

1

e

，e)上有两个不相等的实数根，即可得出结论．
（Ⅱ）把恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数求的函数的最大值及最小值即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

ax2-2x+a

x2

=0则：-------------------------------（2分）
ax²-2x+q=0在(

1

e

，e)上有两个不相等的实数根．a=0时不成立⇒a≠0

2

a

=x+

1

x

，如图可得：2＜

2

a

＜e+

1

e

=

1+e2

e

∴

2e

1+e2

＜a＜1---------------------------------------（6分）
（Ⅱ）由（1）得：

1

e

＜x1＜1，1＜x2＜ef′(x)=

a(x-x1)(x-x2)

x2

f（x）在（0，x₁）上递增，在[x₁，x₂]上递减，在（x₂，+∞上递增．
x∈[x₁，x₂]时，f（x_x）≤f（x）≤f（x₂）λ₁，λ₂∈[x₁，x₂]时，
|f（λ₁）-f（λ₂）|_max=|f（x₁）-f（x₂）|-------------------------（8分）
f(x1)-f(x2)=a(x1-

1

x1

)-2lnx1-[a(x2-

1

x2

)-2lnx2]
又x1+x2=

2

a

，x1x2=1⇒x2=

1

x1

，a=

2x1

x12+1

∴f(x1)-f(x2)=2a(x1-

1

x1

)-4lnx1=2•

2x1

x12+1

•

x12-1

x1

-4lnx1=

4(x12-1)

x12+1

-4lnx1-----（12分）
设g（x₁）=|f（x₁）-f（x₂）|=

4(x12-1)

x12+1

-4lnx1，x1∈(

1

e

，1)，
则：g′(x1)=

16x1

(x12+1)2

-

4

x1

=

-4(x12-1)2

(x12+1)2x1

＜0⇒g（x₁）在x1∈(

1

e

，1)上递减，故g(x1)＜g(

1

e

)=

4( 1 e2 -1)

1 e2 +1

+4=4(

1-e2

1+e2

+1)=

8

1+e2

∴m≥

8

1+e2

，即m的最小值为

8

1+e2

．--------------------------------（15分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值及最值知识，考查学生转化思想及数形结合思想的运用能力，考查学生的运算求解能力，属难题．