有一系列函数,如果它们解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这一系列函数为“同族函数”.那么函数的解析式为y=x2,值域为{1,2}的同族函数有________个;若n∈N*,集合An={1,2,…,n}是解析式为y=x2的函数的值域,设an表示该函数的同族函数的个数,则a1+a2+…+an=________.
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分析:若函数的解析式为y=x
2,值域为{1,2}时,首先分析出其定义域中可能有的元素为±1和±
,进而对1或-1、
或-
分别分析可得其可能的情况数目,由分步计数原理计算可得答案;当集合A
n={1,2,…,n}是解析式为y=x
2的函数的值域时,其定义域中可能有的元素有±1、±
、±
、±2、…±
,且每对相反数至少有一个,进而对每对相反数依次分析可得其可能的情况数目,由分步计数原理计算可得a
n的值,即可得{a
n}为等比数列,再用等比数列前n和公式求出a
1+a
2+…+a
n的值.
解答:根据题意,若函数的解析式为y=x
2,值域为{1,2};则可能在其定义域中的元素有±1和±
,且每对相反数至少有一个,
对于元素1或-1,两个中任取一个或全部都取,有3种情况;
对于元素
或-
,两个中任取一个或全部都取,有3种情况;
则当函数y=x
2,值域为{1,2}时的同族函数有3×3=9个;
若n∈N
*,集合A
n={1,2,…,n}是解析式为y=x
2的函数的值域,
则其定义域中可能有的元素有±1、±
、±
、±2、…±
,且每组至少有一个,
对于元素1或-1,两个中任取一个或全部都取,有3种情况;
对于元素
或-
,两个中任取一个或全部都取,有3种情况;
…
对于元素
或-
,两个中任取一个或全部都取,有3种情况;
则a
n=3×3×…×3=3
n,
故a
1+a
2+…+a
n=
=
;
故答案为9,
.
点评:本题考查函数的定义、数列的求和以及分步计数原理的运用,解题的难点在于利用分步计数原理分析出a
n=3
n,进而由等比数列前n和公式求出答案.