Question

1．已知函数f（x）=x|x|-2x．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性并求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）写出f（x）的单调区间；（只需写出结果）
（Ⅲ）试讨论方程f（x）=m的根的情况．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可看出f（x）的定义域为R，并容易得到f（-x）=-f（x），即f（x）为奇函数，令f（x）=0即可求出f（x）的零点；
（Ⅱ）去绝对值号，便得到$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x}&{x≥0}\\{-{x}^{2}-2x}&{x＜0}\end{array}\right.$，根据二次函数的单调性即可求出f（x）的单调区间；
（Ⅲ）画出函数f（x）的图象，由图象便可看出f（x）=m的根的情况．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且f（-x）=-x|x|+2x=-f（x）；
∴f（x）为奇函数；
令f（x）=0得，x=0，或x=±2；
即f（x）的零点为0，-2，2；
（Ⅱ）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x}&{x≥0}\\{-{x}^{2}-2x}&{x＜0}\end{array}\right.$；
f（x）的单调增区间为（-∞，-1]，[1，+∞），单调减区间为（-1，0），[0，1]；
（Ⅲ）如图，

由图象可看出当m＜-1时，方程f（x）=m没有实数根；
当m=-1或m＞0时，有两个实数根；
当-1＜m＜0时，有4个实数根；
当m=0时，有3个实数根．

点评 考查奇函数的定义及判断方法和过程，函数零点的定义及求法，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数单调区间的求法，以及根据图象判断方程实根个数的方法．