Question

某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取1.05¹⁰=1.629，1.3¹⁰=13.786，1.5¹⁰=57.665）

Answer 1

分析：甲方案是等比数列，甲方案获利：1+（1+30%）+（1+30%）²+…+（1+30%）⁹=

1.310-1

0.3

≈42.63（万元），银行贷款本息：10（1+5%）¹⁰≈16.29（万元）．乙方案是等差数列，乙方案获利：1+（1+0.5）=（1+2×0.5）+…+（1+9×0.5）=10×1+

10×9

2

×0.5=32.50（万元）；银行本息和：1.05×[1+（1+5%）+（1+5%）²+…+（1+5%）⁹]=1.05×

1.05 10-1

0.05

≈13.21（万元）．由此能做出正确判断．

解答：解：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，
①甲方案获利：1+（1+30%）+（1+30%）²+…+（1+30%）⁹
=

1.310-1

0.3

≈42.63（万元），
银行贷款本息：10（1+5%）¹⁰≈16.29（万元），
故甲方案纯利：42.63-16.29=26.34（万元）．
②乙方案获利：1+（1+0.5）=（1+2×0.5）+…+（1+9×0.5）
=10×1+

10×9

2

×0.5
=32.50（万元）；
银行本息和：1.05×[1+（1+5%）+（1+5%）²+…+（1+5%）⁹]
=1.05×

1.05 10-1

0.05

≈13.21（万元）
故乙方案纯利：32.50-13.21=19.29（万元）．
综上可知，甲方案更好．

点评：这是一道比较常见的数列应用问题，由于本息与利润是熟悉的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．