Question

已知直角三角形ABC的斜边长AB=2，现以斜边AB为轴旋转一周，得旋转体，当∠A=30°时，求此旋转体的体积与表面积的大小．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：空间位置关系与距离

分析：由已知中直角三角形ABC的斜边长AB=2，∠A=30°，判断出以斜边AB为轴旋转一周，所得旋转体的形状是AB边的高CO为底面半径的两个圆锥组成的组合体，计算出底面半径及两个圆锥高的和，代入圆锥体积公式，即可求出旋转体的体积；该几何体的表面积是两个圆锥的侧面积之和，分别计算出两个圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，即可得到答案．

解答： 解：如图以斜边AB为轴旋转一周，得旋转体是以AB边的高CO为底面半径的两个圆锥组成的组合体

∵AB=2，∠A=30°
∴CB=sin30°•AB=1，CA=cos30°•AB=

3

，
CO=

AC•CB

AB

=

3

2

故此旋转体的体积V=

1

3

•πr²•h=

1

3

•π•CO²•AB=

π

2

…6分
（2）又∵CB=1，CA=

3

，
故此旋转体的表面积
S=πr•（l+l′）=πCO•（AC+BC）=

1

2

（3+

3

）π…12分．

点评：本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积和表面积，其中根据已知判断出旋转所得旋转体的形状及底面半径，高，母线长等关键几何量，是解答本题的关键．