Question

下图为一几何体的展开图.

(单位:cm)

（1）沿图中虚线将它们折叠起来，是哪一种特殊几何体？并请画出其直观图，比例尺是1∶2；

（2）需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6 cm的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，请画出其示意图（需在示意图中分别表示出这种几何体）；

（3）设正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中点为E，试求：异面直线EB与AB₁所成角的余弦值及平面AB₁E与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值．

Answer 1

解：（1）折叠后是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥,直观图如下.3分

     

（2）需要3个这样的几何体.5分

（3）①取DD₁中点F，连结AF，则AF∥BE.

∴∠FAB₁为异面直线EB与AB₁所成的角.

易计算得 B₁F=9，AF=3，AB₁=6，7分

∴cos∠FAB₁===.

∴异面直线EB与AB₁所成角的余弦值为.

②设B₁E、BC的延长线交于点G，连结GA，则GA为平面AB₁E与平面ABC所成二面角的棱,在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H.连结HB₁，由三垂线定理知B₁H⊥AG，

∴∠B₁HB为平面AB₁E与平面ABC所成二面角的平面角. 

在Rt△ABG中，BH==，

∴HB₁===.

∴cos∠B₁HB===.

∴平面AB₁E与平面ABC所成二面角的余弦值为.