Question

已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.

(1)试求函数f(x)的解析式；

(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

(1) f(x)=x+.

(2) y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1－,－2)关于(1，0)对称.

解析:

(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即

∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2，当且仅当x=时等号成立，于是2=2,∴a=b²,由f(1)＜得＜即＜,∴2b²－5b+2＜0,解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.

(2)设存在一点(x₀,y₀)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x₀,－y₀)也在y=f(x)图象上，则

消去y₀得x₀²－2x₀－1=0,x₀=1±.

∴y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1－,－2)关于(1，0)对称.