Question

已知某种稀有矿石的价值y（单位：元）与其重量ω（单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为54000元．
（1）写出y（单位：元）关于ω单位：克）的函数关系式；
（2）若把一块该种矿石切割成重量比为1：3的两块矿石，求价值损失的百分率；
（3）把一块该种矿石切割成两块矿石时，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大．（注：价值损失的百分率=×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）

Answer 1

【答案】分析：（1）价值y与其重量ω的平方成正比，设出函数解析式，用待定系数法可以求得；
（2）根据价值y与其重量ω的函数解析式，求出分割前的原有价值，分割后的现有价值，代入公式，价值损失的百分率=×100%，即得；
（3）由“价值损失的百分率=×100%=”；
解法1：若把一块该种矿石按重量比为m：n切割成两块，价值损失的百分率可以表示出来，求其最大值，得m，n的关系；
解法2：若把一块该种矿石按重量比为x：1切割成两块，价值损失的百分率也可以表示出来，求其最大值，得x：1的值；
两种设法，实际上是一种解法．
解答：解（1）依题意，设y=kω²（ω＞0），
当ω=3时，y=54000，代入上式，得：k=6000，
故y=6000ω²（ω＞0）．

（2）设这块矿石的重量为a克，由（1）可知，
按重量比为1：3切割后的价值为；，
价值损失为；，
价值损失的百分率为；．

（3）解法1：若把一块该种矿石按重量比为m：n切割成两块，价值损失的百分率应为；，又，
当且仅当m=n时取等号，即重量比为1：1时，价值损失的百分率达到最大．
解法2：设一块该种矿石切割成两块，其重量比为x：1，则价值损失的百分率为；，又x＞0，∴x²+1≥2x，
故，当且仅当x=1时等号成立．
答：（1）函数关系式y=6000ω²（ω＞0）；
（2）价值损失的百分率为37.5%；
（3）故当重量比为1：1时，价值损失的百分率达到最大．
点评：本题通过建立函数模型，考查正比例函数；通过所给公式，求价值损失率；通过求价值损失的百分率的最大值，考查基本不等式，属于综合性题目．