Question

设正四面体的四个顶点是A，B，C，D各棱长均为1米，有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到这条棱的尽头，则它爬了5米之后恰好再次位于顶点A的概率是______（结果用分数表示）．

Answer 1

小虫从点A出发，一共分第5步走，可以确定下来是小虫最后一步必须回到A，那么第四步就不能是走回A．
所以，第三步成为关键，第三部分两种情况，①回到A点，②不回A点．
在①情况下，小虫第一步有3种选择，由于第三步为了回到A，则第二步只能有2种选择，
到第四步时，因为从A出发，又有3种选择，所以，此时共有 3×2×1×3×1=18种可能．
在②情况下，第二步的走法又分为③回A点或者④不回A点的情况．
因此在③情况下，共有3×1×3×2×1=18种可能，在④情况下，共有3×2×2×2×1=24种可能．
所以，第五步回到A总共有18+18+24=60种可能，
而小虫总共有3×3×3×3×3=243种选择，概率为

60

243

=

20

81

，
故答案为

20

81

．