Question

【题目】已知椭圆的焦距为，离心率为，其右焦点为，过点作直线交椭圆于另一点.

（Ⅰ）若，求的面积；

（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点、，设为上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）3或1（Ⅱ）或.

【解析】

（I）利用椭圆的焦距、离心率及即可得到椭圆的标准方程；设，利用向量的数量积及点满足椭圆的方程即可得出点的坐标有两种，分别利用三角形面积公式计算即可；（Ⅱ）设，，把直线的方程与椭圆方程联立得到判别式△满足的条件及其根与系数的关系，再利用向量的模的计算公式即可得出．

（Ⅰ）由题意知：，，又，

解得：，∴椭圆的方程为：

可得：，，设，则，，

∵，∴，即

由，或即，或

①当的坐标为时，，，且，

∴；

②当的坐标为时，，，所以为直角三角形，

，，

∴

综上可知：或1.

（Ⅱ）由题意可知直线的斜率存在.设，，，

由得：

由得： ，

∵，∴即

∴，结合得：∵，∴

从而， ，

∵点在椭圆上，∴，整理得：

即，∴，或.