Question

5．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≥0}\\{x-y+2≥0}\\{2x-y-5≤0}\end{array}\right.$，则z=$\frac{x+y+2}{x+3}$的取值范围是[0，$\frac{4}{5}$]．

Answer 1

分析 本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，然后分析 目标函数的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解

解答 解：画出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，
则z=$\frac{x+y+2}{x+3}$=$1+\frac{y-1}{x+3}$
表示可行域内的点P（x，y）与点（-3，1）的连线的斜率加上1，观察图形可知，k_OA=0，k_OB，=$\frac{4}{5}$，所以z∈[0，$\frac{4}{5}$]；
故答案为：[0，$\frac{4}{5}$]．

点评 平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案