【题目】已知点,椭圆
的离心率为
,
是椭圆的右焦点,直线
的斜率为
,
为坐标原点.
(I)求的方程;
(II)设过点的动直线
与
相交于
两点,当
的面积最大时,求
的方程
【答案】(I)(II)
或
【解析】
试题分析:(I)求椭圆标准方程,一般方法为待定系数法,即根据条件列出关于的两个独立条件
及
,结合
,解方程组得
,
(II)对于三角形面积问题,一般利用点到直线距离公式求三角形的高,利用弦长公式求三角形底边边长.先设直线方程
,注意分类讨论斜率不存在情形,根据点
到直线
的距离公式得高
,将直线方程与椭圆方程联立方程组,利用韦达定理及弦长公式得:
,
,这样可得
的面积
,最后根据分式函数求最值方法求最值:一般方法为整体换元,即设
,则
,
,利用基本不等式求最值,确定斜率,即直线方程
试题解析:(I)设,由条件知
,得
,又
,所以
,
,故
的方程为
(II)当轴时不合题意,故可设
,
,
将代入
中得
,当
时,即
,
由韦达定理得
从而
又点到直线
的距离为
所以的面积
法一:设,则
,
,因为
,当且仅当
,即
时等号成立,且满足
.所以当
的面积最大时,
的方程为
或
法二:令,则
当时, 即
,
,
时等号成立,且满足
.
所以的面积最大时,
的方程为
或
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【题目】长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康,某校为了解两班学生手机上网的时长,分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查,将他们平均每周手机上网的时长作为样本,绘制成茎叶图如图所示(图中茎叶表示十位数字,叶表示个位数字).
(1)分别求出图中所给两组样本数据的平均值,并据此估计,哪个班的学生平均上网时间较长;
(2)从班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为
,从
班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为
,求
的概率.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,设倾斜角为
的直线
的参数方程为
(
为参数)与曲线
(
为参数)相交于不同的两点
.
(1)若,求线段
的中点的直角坐标;
(2)若直线的斜率为2,且过已知点
,求
的值.
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【题目】已知函数,
.
(1)若函数有且只有一个极值点,求实数
的取值范围;
(2)对于函数,
,
,若对于区间
上的任意一个
,都有
,则称函数
是函数
,
在区间
上的一个“分界函数”.已知
,
,问是否存在实数
,使得函数
是函数
,
在区间
上的一个“分界函数”?若存在,求实数
的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数(其中
)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为
,且图象上一个最低点为
.
(1)求函数的解析式;
(2)当时,求函数
的值域;
(3)若方程在
上有两个不相等的实数根
,求
的值.
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【题目】某商场进行有奖促销活动,顾客购物每满500元,可选择返回50元现金或参加一次抽奖,抽奖规则如下:从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球,摸到红球就可获得100元现金奖励,假设顾客抽奖的结果相互独立.
(Ⅰ)若顾客选择参加一次抽奖,求他获得100元现金奖励的概率;
(Ⅱ)某顾客已购物1500元,作为商场经理,是希望顾客直接选择返回150元现金,还是选择参加3次抽奖?说明理由;
(Ⅲ)若顾客参加10次抽奖,则最有可能获得多少现金奖励?
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