Question

过双曲线2x²-y²=1上一点A（1，1）作两条动弦AB，AC，且直线AB，AC的斜率的乘积为3．
（1）问直线BC是否可与坐标轴垂直？若可与坐标轴垂直，求直线BC的方程，若不与坐标轴垂直，试说明理由．
（2）证明直线BC过定点．

Answer 1

（1）令B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
当BC与x轴垂直时，有x₁=x₂，y₁=-y₂，
故：3=

y1-1

x1-1

•

-y1-1

x1-1

=

1- y 21

(x1-1)2

=

2(1- x 21 )

(1-x1)2

=

2(1+x1)

1-x1

∴x₁=

1

5

，与|x₁|≥

2

2

矛盾，因此BC不与x轴垂直..（3分）
当BC与y轴垂直时，有x₁=-x₂，y₁=y₂，
故：3=

y1-1

x1-1

•

y1-1

-x1-1

=

(1-y1 ) 2

1- x 21

=

2(1-y1)2

1- y 21

=

2(1-y1)

1+y1

∴y₁=-

1

5

，因此BC可与y轴垂直，此时BC的方程为y=-

1

5

．（5分）
（2）证明：当BC不与坐标轴垂直时，k_AB•k_AC=

y1-1

x1-1

•

y2-1

x2-1

=3，
故3（x₁-1）（x₂-1）=（y₁-1）（y₂-1）．…①…（6分）
令BC：y=kx+b，代入双曲线方程有：2x²-（kx+b）²=1?（2-k²）x²-2kbx-b²-1=0．…②
x₁，x₂是方程②的两个实根．令f（x）=（2-k²）x²-2kbx-b²-1，
则（x₁-1）（x₂-1）=

f(1)

2-k2

=

2-k2-2kb-b2-1

2-k2

．③…..（8分）
直线方程又可写成：x=

y-b

k

，代入2x²-y²=1，有：2（y-b）²-k²y²=k²，整理得：（2-k²）y²-4by+2b²-k²=0．…④
y₁，y₂是方程④的两个实根．
令g（y）=（2-k²）y²-4by+2b²-k²．
（y₁-1）（y₂-1）=

g(1)

2-k2

=

2-2k2-4b+2b2

2-k2

．…⑤…（10分）   
③，⑤两式代入①式，有：

3(1-k2-2kb-b2)

2-k2

=

2-2k2-4b+2b2

2-k2

，
故3[1-（k+b）²]=2[（b-1）²-k²]，
从而：3（1-k-b）（1+k+b）=2（b-1-k）（b-1+k）．…⑥
因为点A（1，1）不在直线y=kx+b上，故k+b≠1．
利用⑥，可知：3 （1+k+b）+2（b-1-k）=0，
即k+5b+1=0，所以-

1

5

=k•

1

5

+b． 
因此直线BC过定点M(

1

5

，-

1

5

)，直线y=-

1

5

也过定点M．
综上所述，直线BC恒过定点M(

1

5

，-

1

5

)．…（14分）