Question

设椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，长轴长为6

2

，设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求证|AB|=

6 2

1+sin2θ

；
（Ⅲ）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆的性质求解．
（Ⅱ）将直线和椭圆方程联立，用韦达定理，再用弦长公式求解．
（III）用（II）的方法表示出|CD|，再有|AB|+|CD|=

6 2

1+sin2θ

+

6 2

1+cos2θ

=

18 2

2+ 1 4 sin2θ

，再用三角函数求得最值．

解答：解：（Ⅰ）根据题意可得：

2a=6 2 c a = 2 2 b2=a2-c2

?

a=3 2 c=3 b=3

所求椭圆M的方程为

x2

18

+

y2

9

=1（4分）
（Ⅱ）当θ≠

π

2

，设直线AB的斜率为k=tanθ，焦点F（3，0），
则直线AB的方程为y=k（x-3）
有

y=kx-3k x2 18 + y2 9 =1

?（1+2k²）x²-12k²x+18（k²-1）=0
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
有x₁+x₂=

12k2

1+2k2

，x₁x₂=

18(k2-1)

1+2k2

|AB|=

(1+k2)[( 12k2 1+2k2 )2-4× 18(k2-1) 1+2k2 ]

=

6 2 (1+k2)

1+2k2

**（6分）
又因为k=tanθ=

sinθ

cosθ

代入**式得
|AB|=

6 2

cos2θ+sin2θ

=

6 2

1-sin2θ+2sin2θ

=

6 2

1+sin2θ

（8分）
当θ=

π

2

时，直线AB的方程为x=3，
此时|AB|=3

2

（10分）
而当θ=

π

2

时，|AB|=

6 2

1+sin2θ

=3

2

综上所述所以|AB|=

6 2

1+sin2θ

（11分）
（Ⅲ）过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，
同理可得|CD|=

6 2 (1+k2)

2+k2

=

6 2

1+cos2θ

（12分）
有|AB|+|CD|=

6 2

1+sin2θ

+

6 2

1+cos2θ

=

18 2

2+ 1 4 sin2θ

因为sin2θ∈[0，1]，
所以当且仅当sin2θ=1时，
|AB|+|CD|有最小值是8

2

（16分）

点评：本题主要考查椭圆方程的求法和直线与椭圆中弦长公式的应用，渗透了函数求最值的问题．