Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

      

       （I）求证：平面BCD；

       （II）求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小；

       （III）求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

方法一：       （I）证明：连结OC

      

                 

       在中，由已知可得

       而

      

       即

      

       平面

       （II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

       直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

       在中，

      

       是直角斜边AC上的中线，

      

    异面直线AB与CD所成角的大小为

    （III）解：设点E到平面ACD的距离为

   

    在中，

   

    而

      

       点E到平面ACD的距离为

       方法二：       （I）同方法一.

       （II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

      

      

       异面直线AB与CD所成角

       的大小为

       （III）解：设平面ACD的法向量为则

      

      

       令得是平面ACD的一个法向量。

       又

       点E到平面ACD的距离