Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在AB上，且AM=

1

3

，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A₁D₁的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点的轨迹是（　　）

• A、圆
• B、抛物线
• C、双曲线
• D、直线

Answer 1

分析：作PQ⊥AD，作QR⊥D₁A₁，PR即为点P到直线A₁D₁的距离，由勾股定理得 PR²-PQ²=RQ²=1，又已知PR²-PM²=1，PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离．

解答：解：如图所示：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁  中，作PQ⊥AD，Q为垂足，则PQ⊥面ADD₁A₁，过点Q作QR⊥D₁A₁，
则D₁A₁⊥面PQR，PR即为点P到直线A₁D₁的距离，由题意可得 PR²-PQ²=RQ²=1．
又已知 PR²-PM²=1，∴PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，
故选 B．

点评：本题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结合的数学思想，得到PM=PQ是解题的关键．