Question

已知f（x）=2sin（x+

π

6

）-

4 3

3

tanα•cos²

x

2

，α∈（0，π） 且f（

π

2

=

3

-2）．
（1）求α；
（2）当x∈[

π

2

，π]时，求函数y=f（x+α）的值域．

Answer 1

分析：题干错误：且f（

π

2

=

3

-2）．  应该是：且f（

π

2

）=

3

-2．
（1）根据f（x）的解析式可得f（

π

2

）=

3

-

4 3

3

tanα•

1

2

=

3

-2，求得tanα=

3

，结合 α∈（0，π），求得 α 的值．
（2）由（1）得，f（x）=2sin（x-

π

6

）-2，可得函数y=f（x+α）=f（x+

π

3

）=2sin（x+

π

3

-

π

6

）-2=2sin（x+

π

6

）-2．再由

π

2

≤x≤π，根据正弦函数的定义域和值域，求得
函数y=f（x+α）的值域．

解答：解：（1）因为f（x）=2sin（x+

π

6

）-

4 3

3

tanα•cos²

x

2

，∴f（

π

2

）=2sin（

π

2

+

π

6

）-

4 3

3

tanα•cos2

π

4

=

3

-

4 3

3

tanα•

1

2

=

3

-2，
所以，tanα=

3

，又 α∈（0，π），故 α=

π

3

．
（2）由（1）得，f（x）=2sin（x+

π

6

）-

4 3

3

tanα•cos²

x

2

=2sin（x+

π

6

）-4cos2

x

2

=

3

sinx+cosx-2（1+cosx）=2（

3

2

sinx-

1

2

cosx）-2=2sin（x-

π

6

）-2，
所以，y=f（x+α）=f（x+

π

3

）=2sin（x+

π

3

-

π

6

）-2=2sin（x+

π

6

）-2．
因为

π

2

≤x≤π，所以

2π

3

≤x+

π

6

≤

7π

6

，∴-

1

2

≤sin（x+

π

6

）≤

3

2

，∴-3≤2sin（x-

π

6

）-2≤

3

-2，
因此，函数y=f（x+α）的值域为[-3，

3

-2]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．