Question

已知S_n是正项数列{a_n}的前n项和，且

Sn

是

1

4

与（a_n+1）²的等比中项．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若bn=

an

2n

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）若bn≤

1

4

m2-m-

1

2

对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

Sn

是

1

4

与（a_n+1）²的等比中项，可得Sn=

1

4

(an+1)2，Sn-1=

1

4

(an-1+1)2，两式相减可求．
（2）bn=

an

2n

=

2n-1

2n

，Tn=

1

2

+

3

22

++

2n-1

2n

，故用裂项求和法求解；
（3）先求数列{b_n}的最大值，进而转化为解不等式

3

4

≤

1

4

m2-m-

1

2

．从而求出参数范围．

解答：解：（1）当 n≥2时，Sn=

1

4

(an+1)2，Sn-1=

1

4

(an-1+1)2，
两式相减，整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由于数列{a_n}是正项数列，∴a_n-a_n-1=2，又a₁=1，所以数列{a_n}是首项a₁=1，d=2的等差数列，a_n=2n-1；
（2）bn=

an

2n

=

2n-1

2n

，Tn=

1

2

+

3

22

++

2n-1

2n

，

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

++

2n-1

2n+1

相减化简得Tn=3-

2n+3

2n

（3）∵bn+1-bn=

3-2n

2n+1

当n=1，b₂＞b₁，当n≥2，b_n+1＜b_n，故当n=2时，b₂取到最大值

3

4

．
又bn≤

1

4

m2-m-

1

2

对一切正整数n恒成立，即

3

4

≤

1

4

m2-m-

1

2

解得m≤-1或m≥5

点评：本题主要考查等差数列的定义，裂项求和法及借助于最值解决恒成立问题，属于中档题．