Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣kx+k（k∈R）．
（Ⅰ）求f（x）在[1，2]上的最小值；
（Ⅱ）若 ，对x∈（﹣1，1）恒成立，求正数a的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，∵x∈[1，2]，∴ ，

①当 时，f'（x）≥0，f（x）在区间[1，2]上单调递增，所以fmin（x）=f（1）=0；

②当k≥1时，f'（x）≤0，f（x）在区间[1，2]上单调递减，

所以fmin（x）=f（2）=ln2﹣k

③当 时，令f'（x）=0，得 ，当 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，

当 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，又f（1）=0，f（2）=ln2﹣k，

若f（1）＜f（2），则k＜ln2；若f（1）＞f（2），则k＞ln2，

所以当 时，最小值为f（1）=0，当ln2＜k＜1时，最小值为f（2）=ln2﹣k．

综上所述，当k≤ln2时，最小值为f（1）=0，当k＞ln2时，最小值为f（2）=ln2﹣k…6分

（Ⅱ）方法1：由（1）知， ，

又 ，得： ，

从而对于任意x∈（﹣1，1）， ，所以 ，即a≤2，…8分

下面证明a可以取到2，即证明不等式 ，

由于不等式两端均为x的偶函数，故只需考虑0≤x＜1时的情形…10分

令 ，

则H（0）=0且 ，从而H'（x）＞0，

H（x）在区间（0，1）上单调递增，从而H（x）≥0．

所以当x∈（﹣1，1）时， ，所以正数a的最大值为2…12分

（Ⅱ）方法2：设t=|x|，则t∈[0，1），则原不等式“ ”等价于

“函数g（t）=ln（1+t）﹣ln（1﹣t）﹣at≥0对t∈[0，1）恒成立”，

则 ，

①当0＜a≤2时，g'（t）＞0，g（t）单调递增，此时gmin（t）=g（0）=0，满足题意；

②当a＞2时，令g'（t）=0，得 ，

当 时，g'（t）＜0，g（t）单调递减，

当 时，g'（t）＞0，g（t）单调递增，

所以 span> 又因为g（0）=0，

所以 ，不满足题意．

综上可知，正数a的最大值为2．

（Ⅱ）方法3：设t=|x|，则t∈[0，1），则原不等式“ ”等价于

“ 对t∈[0，1）恒成立”

取 ，则等价于f（1+t）≥f（1﹣t），所以 ，

即 ．

反过来，当a=2时，设g（t）=ln（1+t）﹣ln（1﹣t）﹣2t，

则 恒成立，

所以函数y=g（t）在t∈[0，1）上单调递增，

所以g（t）≥g（0）=0，所以g（t）=ln（1+t）﹣ln（1﹣t）﹣2t≥0，

即 恒成立，满足题意．

综上可知，实数a的最大值是2．

【解析】（1）求出f（x）的导数，对k进行分类讨论，判断函数的单调性，求解函数的最小值，（2）方法1： 由（1）知，，又，化简后转化为求解a的范围，方法2：:设t=|x|，则t∈[0，1），则原不等式“ ”等价于

“函数g（t）=ln（1+t）﹣ln（1﹣t）﹣at≥0对t∈[0，1）恒成立”，构造函数通过求导，对a进行分类讨论可得到a的最大值为2，方法3：:设t=|x|，则t∈[0，1），则原不等式“ ”等价于
“函数g（t）=ln（1+t）﹣ln（1﹣t）﹣at≥0对t∈[0，1）恒成立”取k=a，则等价于f（1+t）≥f（1﹣t），求导分析可得出实数a的最大值是2.

【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．