Question

（2012•绵阳三模）对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]?D和常数c，．使得对任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c，且对任意x₂∈D，当x₂∉[a，b]时，f（x₂）＜c恒成立，则称函数f（X）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：
①“平顶型”函数在定义域内有最大值；
②“平顶型”函数在定义域内一定没有最小值；
③函数f（x）=-|x+2|-|x-1|为R上的“平顶型”函数；
④函数f（x）=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数．
则以上说法中正确的是

①③

．（填上你认为正确结论的序号）

Answer 1

分析：根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，但是定义并没有指出函数最小值的情况．由此定义再结合绝对值的性质和正弦函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．

解答：解：对于①，根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，故①正确；
对于②，根据“平顶型”函数的定义，没有指明不存在常数c'，使定义域内任意x₀，满足f（x₀）≥c'，故平顶型”函数在定义域内不一定没有最小值，故②不正确；
对于③，f（x）=-|x+2|-|x-1|≤-|（x+2）+（x-1）|=-3，当且仅当x∈[-2，1]时，函数的最大值为-3，符合“平顶型”函数的定义，故③正确；
对于④，函数f（x）=sinx-|sinx|=

2sinx      x∈(-π+2kπ，2kπ) 0              x∈(2kπ，π+2kπ)

，k为整数
所以函数有最小值0，最大值2，但是不存在区间[a，b]，对任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=2，所以f（x）不是“平顶型”函数，故④不正确．
故答案为：①③

点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数的最值及其几何意义、带绝对值的函数和正弦函数的定义域值域等知识点，属于中档题．