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(2012•绵阳三模)对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间[a,b]?D和常数c,.使得对任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且对任意x2∈D,当x2∉[a,b]时,f(x2)<c恒成立,则称函数f(X)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法:
①“平顶型”函数在定义域内有最大值;
②“平顶型”函数在定义域内一定没有最小值;
③函数f(x)=-|x+2|-|x-1|为R上的“平顶型”函数;
④函数f(x)=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数.
则以上说法中正确的是
①③
①③
.(填上你认为正确结论的序号)
分析:根据题意,“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c,且这个常数是函数的最大值,但是定义并没有指出函数最小值的情况.由此定义再结合绝对值的性质和正弦函数的图象与性质,对于四个选项逐个加以判断,即得正确答案.
解答:解:对于①,根据题意,“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c,且这个常数是函数的最大值,故①正确;
对于②,根据“平顶型”函数的定义,没有指明不存在常数c',使定义域内任意x0,满足f(x0)≥c',故平顶型”函数在定义域内不一定没有最小值,故②不正确;
对于③,f(x)=-|x+2|-|x-1|≤-|(x+2)+(x-1)|=-3,当且仅当x∈[-2,1]时,函数的最大值为-3,符合“平顶型”函数的定义,故③正确;
对于④,函数f(x)=sinx-|sinx|=
2sinx      x∈(-π+2kπ,2kπ)
0              x∈(2kπ,π+2kπ)
,k为整数
所以函数有最小值0,最大值2,但是不存在区间[a,b],对任意x1∈[a,b],都有f(x1)=2,所以f(x)不是“平顶型”函数,故④不正确.
故答案为:①③
点评:本题以命题真假的判断为载体,着重考查了函数的最值及其几何意义、带绝对值的函数和正弦函数的定义域值域等知识点,属于中档题.
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