Question

（2013•泗阳县模拟）已知函数f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
（Ⅰ） 当a≥0时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x²-2bx+4．当a=

1

4

时，
（i）若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求实数b取值范围．
（ii） 对于任意x₁，x₂∈（1，2]都有|f(x1)-f(x2)|≤λ|

1

x1

-

1

x2

|，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由已知中函数的意义域为R⁺，由已知中的函数解析式，求出导函数的解析式，分a=0，a=

1

2

，0＜a＜

1

2

，

1

2

＜a＜1，a≥1五种情况分别讨论，最后综合讨论结果，即可得到f（x）的单调性；
（Ⅱ）（i）由（I）的结论，我们可得当a=

1

4

时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，则f（x₁）≥g（x₂），可转化为f(x1)≥f(1)=-

1

2

≥f（x₂），由g（x）=x²-2bx+4，我们易由函数恒成立问题的处理方法，求出满足条件的实数b取值范围．
（ii） 由（I）中结论函数f（x）在（1，2]上是增函数，函数y=

1

x

在（1，2]是减函数，则|f(x1)-f(x2)|≤λ|

1

x1

-

1

x2

|等价于f(x2)-f(x1)≤λ(

1

x1

-

1

x2

)，构造函数h(x)=f(x)+

λ

x

，可得函数h（x）是减函数，根据h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，可构造关于λ的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
因为f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

=

-ax2+x+a-1

x2

，
所以当a=0时，f′(x)=

x-1

x2

，令f′(x)=

x-1

x2

＞0得x＞1，
所以此时函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）是减函数；-----------------------------（2分）
当a=

1

2

时，f′(x)=

-x2+2x+a-1

2x2

=

-(x-1)2

2x2

≤0，所以此时函数f（x）在（0，+∞）是减函数；
当0＜a＜

1

2

时，令f′(x)=

-ax2+x+a-1

x2

＞0，解得1＜x＜

1

a

-1，
此时函数f（x）在(1，

1

a

-1)是增函数，在(0，1)和(

1

a

-1，+∞)上是减函数；----------------------------------------------（4分）
当

1

2

＜a＜1，令f′(x)=

-ax2+x+a-1

x2

＞0，解得

1

a

-1＜x＜1，
此时函数f（x）在(

1

a

-1，1)是增函数，在(0，

1

a

-1)和(1，+∞)上是减函数；-----------------------------------------（6分）
当a≥1，由于

1

a

-1≤0，令f′(x)=

-ax2+x+a-1

x2

＞0，解得0＜x＜1，
此时函数f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）上是减函数．--------------------------------------------（8分）
（Ⅱ） （i）当a=

1

4

时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x₁∈（0，2），
有f(x1)≥f(1)=-

1

2

，又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），所以-

1

2

≥g(x2)，x₂∈[1，2]，
即存在x∈[1，2]，使g(x)=x2-2bx+4≤-

1

2

，即2bx≥x2+

9

2

，即2b≥x+

9 2

x

∈[

17

4

，

11

2

]，
所以2b≥

17

4

，解得b≥

17

8

，即实数b取值范围是[

17

8

，+∞)．--------------------（12分）
（ii）不妨设1＜x₁≤x₂≤2，由函数f（x）在（1，2]上是增函数，函数y=

1

x

在（1，2]是减函数，
∴|f(x1)-f(x2)|≤λ|

1

x1

-

1

x2

|等价于f(x2)-f(x1)≤λ(

1

x1

-

1

x2

)，
所以f(x2)+λ

1

x2

≤f(x1)+λ

1

x1

设h(x)=f(x)+

λ

x

=lnx-

1

4

x+

3

4x

+

λ

x

是减函数，
所以h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，即

3

4

+λ≥x-

1

4

x2=-

1

4

(x-2)2+1，解得λ≥

1

4

．---------（16分）

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题，其中（1）的关键是对a值进行分类讨论，而（2）的关键是构造函数h(x)=f(x)+

λ

x

，进而根据函数h（x）是减函数，则h'（x）≤0在（1，2]上恒成立，构造关于λ的不等式．