Question

已知函数f（x）=asinx-bcosx在x=

π

4

时取得极值，则函数y=f（

3π

4

-x）是（　　）

• A、奇函数且图象关于点（π，0）对称
• B、偶函数且图象关于点（

  3π

  2

  ，0）对称
• C、奇函数且图象关于点（

  3π

  2

  ，0）对称
• D、偶函数且图象关于点（-π，0）对称

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的对称性

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：由条件可得，f（

π

4

）=

2

2

（a-b）且为最值，再由两角和的正弦公式可得f（x）的最值为±

a2+b2

，得到方程，解出a，b的关系，化简f（x），即可得到所求函数的表达式，即可判断奇偶性和对称性．

解答： 解：已知函数f（x）=asinx-bcosx在x=

π

4

时取得极值，
则f（

π

4

）=

2

2

（a-b）且为最值，
由asinx-bcosx=

a2+b2

sin（x+θ），
即有±

a2+b2

=

2

2

（a-b），
即有b=-a，
f（x）=a（sinx+cosx）=

2

asin（x+

π

4

），
则f（

3π

4

-x）=

2

asin（π-x）=

2

asinx．
则函数y=f（

3π

4

-x）为奇函数，对称中心为（kπ，0），k∈Z．
故选A．

点评：本题考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的最值和奇偶性和对称性，考查两角和的正弦公式，属于中档题．