Question

7．设函数f（x）=log₂（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）求证：函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．

Answer 1

分析 （1）利用$\sqrt{{x}^{2}+1}$＞|x|≥-x，可以$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x＞0恒成立，得出定义域，
（2）根据奇偶性定义证明．
（3）利用单调性定义证明，关键$\sqrt{{x}_{1}^{2}+1}$+x₁$＜\sqrt{{x}_{2}^{2}+1}$+x₂，根据对数函数性质证明．

解答 解：函数f（x）=log₂（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）
（1）$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x＞0
∵$\sqrt{{x}^{2}+1}$＞|x|≥-x，
∴$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x＞0恒成立
函数f（x）的定义域：（-∞，+∞）
（2）∵f（-x）=log_2（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=-log₂（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数；
（3）设任意实数x₁，x₂∈[0，+∞）且x₁＜x₂，
∵$\sqrt{{x}_{1}^{2}+1}$+x₁$＜\sqrt{{x}_{2}^{2}+1}$+x₂，
∴log₂（$\sqrt{{x}_{1}^{2}+1}$+x₁）＜log₂（$\sqrt{{x}_{2}^{2}+1}$+x₂）
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．

点评 本题考察了函数的性质，综合运用解决问题，属于中档题，关键是利用概念，不等式转化证明．