【题目】已知向量 , ,且 ,f(x)= ﹣2λ| |(λ为常数),求:
(1) 及| |;
(2)若f(x)的最小值是 ,求实数λ的值.
【答案】
(1)
解: , ,
∵ ,
∴cosx≥0,
∴ .
(2)
解:f(x)=cos2x﹣4λcosx=2(cosx﹣λ)2﹣1﹣2λ2,
∵ ,
∴0≤cosx≤1,
①当λ<0时,当且仅当cosx=0时,f(x)取得最小值﹣1,这与已知矛盾;
②当0≤λ≤1,当且仅当cosx=λ时,f(x)取得最小值﹣1﹣2λ2,
由已知得 ,解得 ;
③当λ>1时,当且仅当cosx=1时,f(x)取得最小值1﹣4λ,
由已知得 ,解得 ,这与λ>1相矛盾、
综上所述, 为所求.
【解析】(1)根据所给的向量的坐标,写出两个向量的数量积,写出数量积的表示式,利用三角函数变换,把数量积整理成最简形式,再求两个向量和的模长,根据角的范围,写出两个向量的模长.(2)根据第一问做出的结果,写出函数的表达式,式子中带有字母系数λ,把式子整理成关于cosx的二次函数形式,结合λ的取值范围,写出函数式的最小值,是它的最小值等于已知量,得到λ的值,把不合题意的舍去.
【考点精析】认真审题,首先需要了解三角函数的最值(函数,当时,取得最小值为;当时,取得最大值为,则,,).
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【题目】对于数列,定义, .
(1) 若,是否存在,使得?请说明理由;
(2) 若, ,求数列的通项公式;
(3) 令,求证:“为等差数列”的充要条件是“的前4项为等差数列,且为等差数列”.
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【题目】将圆为参数)上的每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的倍,得到曲线
(1)求出的普通方程;
(2)设直线: 与的交点为, ,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.
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【题目】已知函数, .
(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)当时,讨论函数的单调性;
(Ⅲ)设斜率为的直线与函数的图象交于, 两点,其中,求证: .
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),在以原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和直线的倾斜角;
(2)设点,直线和曲线交于两点,求的值.
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【题目】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且过点(1,).
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设与圆O:x2+y2=相切的直线l交椭圆C与A,B两点,求△OAB面积的最大值,及取得最大值时直线l的方程.
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【题目】设O为坐标原点,点P的坐标(x﹣2,x﹣y)
(1)在一个盒子中,放有标号为1,2,3的三张卡片,现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x,y,求|OP|的最大值,并求事件“|OP|取到最大值”的概率;
(2)若利用计算机随机在[0,3]上先后取两个数分别记为x,y,求P点在第一象限的概率.
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