Question

如图所示，ABCD是边长为a的正方形，△PBA是以角B为直角的等腰三角形，H为BD上一点，且AH⊥平面PDB．
（Ⅰ）求证：平面ABCD⊥平面APB；
（Ⅱ）求直线PC与平面PDB所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）利用线面垂直的性质定理可得AH⊥PB，又PB⊥AB，利用线面垂直的判定定理可得PB⊥平面ABCD，再利用面面垂直的性质定理即可证明结论；
（II）连接CH，利用ABCD是正方形且AH⊥BD，可得C，H，A三点共线，且H为AC，BD的中点，由AH⊥平面PBD知CH⊥平面PBD，因此∠CPH就是直线PC与平面PBD所成的角．再利用已知求出即可．

解答：（Ⅰ）证明：∵AH⊥平面PBD，PB?平面PBD，
∴AH⊥PB，
又PB⊥AB，AH∩AB=A，∴PB⊥平面ABCD，
而PB?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面APB．
（Ⅱ）解：连接CH，∵ABCD是正方形且AH⊥BD，
∴C，H，A三点共线，且H为AC，BD的中点，
由AH⊥平面PBD知CH⊥平面PBD，
∴PH就是PC在平面PBD内的射影，∴∠CPH就是直线PC与平面PBD所成的角．
在Rt△CHP中，CH=

2

2

a，PH=

6

2

a，
∴tan∠CPH=

CH

PH

=

3

3

，
∴∠CPH=30°，
∴cos∠CPH=

3

2

，即直线PC与平面PDB所成角的余弦值为

3

2

．

点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力．